· Primer caso de factorización
Si existe un factor común en los términos de un polinomio.
Ejemplo: Del polinomio:
18x2y2 + 12xyz+ 24 xym2- 36x2yz
Se prueba si entre los coeficientes existe un factor común entre ellos.
18=3x6
12=2x6 ⟹ 6 es factor común
24=4x6
36=6x6
Si se encuentra en la parte literal de cada termino un factor común. Entre x2y2; xyz; xym2; x2yz el factor común es la letra o letras que se repiten, con el menor exponente. Para este caso: xy.
Cada termino del polinomio lo dividimos por el factor común.
x2y2 / xy = xy
xyz / xy = z
xym2 / xy = m2
x2yz / xy = xz
Aplicando lo anterior en la resolución tenemos:
18x2y2 + 12xyz+ 24 xym2- 36x2yz = 6xy ( 3xy+ 2z+ 4 m2- 6xz)
· Segundo caso de factorización
Puede suceder que no exista un factor común en todos los términos, entonces se puede factorizar el polinomio en grupos iguales de términos.
Ejemplo: Del polinomio:
5x – xy + 2xz- py +2pz + 5p =
x(5 -y +2z) + p(-y +2z +5)=
(x + p)(5 +2z -y )
· Tercer caso de factorización
Es el caso cuando tenemos un polinomio llamado trinomio cuadrado perfecto, tenemos dos de sus términos cuadrados perfectos mientras un tercero será el doble del producto de sus bases.
Ejemplos: Del polinomio:
25x2 +16y2 + 40xy = (5x +4y)2
⤹ ⤹ ⤹
5x 4y 2(5x)(4y)
⤹ ⤹
base base
Si se tiene que el doble del producto de las bases es negativo, el binomio se desarrolla.
Ejemplos: Del polinomio:
4a2 + b2 – 4ab = (2a - b)2
⤹ ⤹ ⤹
2a b 2(2a)(b)
⤹ ⤹
base base
· Cuarto caso de factorización
Este caso es el llamado cuatrinomio cubo perfecto, hay dos términos cubos perfectos, otro que es el triple del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo, y el ultimo es el triple de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo.
Ejemplos: Del polinomio:
x3 + y3 +3x2y +3xy2= (x + y)3
⤹ ⤹ ⤹ ⤹
x y 3(x2)(y) 3(x)(y2)
⤹ ⤹
base base
· Quinto caso de factorización
Es cuando se presenta la diferencia de cuadrados, es igual al producto de la suma por la diferencia de las bases de los cuadrados.
Ejemplos: Del polinomio:
81x2 - 49y2= (9x +7y)(9x -7y)
· Sexto caso de factorización
Se presentan tres posibilidades:
1. Suma de potencias de igual grado: solo es divisible por la adición de sus bases, cuando el exponente es un número impar.
Ejemplos: Del polinomio:
x7 + y7=(x + y)(x6 - x5y + x4 y2 - x3 y3 + x2 y4 - x y5 + y6)
2. Diferencia de potencias de igual grado de exponente par: divisible por la diferencia o adición de sus bases.
Ejemplos: Del polinomio:
Si lo resolvemos por la suma de sus bases.
x6 – y6= (x + y)(x5 – x4y + x3 y2 – x2 y3 + x y4 - y5 )
Si lo resolvemos por la resta de sus bases.
x6 – y6= (x - y)(x5 + x4y + x3 y2 + x2 y3 + x y4 + y5 )
Si lo resolvemos por diferencia de cuadrados.
x6 – y6= (x3)2 - (y3)2 = (x3 - y3)( x3 + y3)
3. Diferencia de potencias de igual grado de exponente impar: solo es divisible por la deferencia por la diferencia de sus bases.
Ejemplos: Del polinomio:
x5 – y5= (x - y)(x4 + x3y + x2 y2 + x y3 + y4 )
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